Gyllene snittet

Gyllene snittet har alltid fascinerat mig. De matematiska förhållandet som återfinns i konsten, arkitekturen och naturen. Det matematiska värdet på gyllena snittet var känt för matematiker redan 300 f Kr. En del av arkitekturens mästerverk, bland annat Parthenon i Athen, många skulpturer och konstverk bygger på relationstalet i det gyllene snittet. Detta snitt är helt enkelt uppdelningen av en linje i en kort och lång del så att relationstalet dem emellan blir 1:1,618033989. Fast egentligen kan det vara hur många decimaler som helst. Gyllena snittets relationstal benämnes av tradition med den grekiska bokstaven fi i jämförelse med det välkända talet pi (3,14…), som uttrycker relationstalet mellan cirkelns omkrets och diameter.

Gyllene snittets tal har den märkliga egenskapen att om en godtycklig rektangel delas upp i en kvadrat och en ny mindre rektangel så kan detta göras upprepade gånger i all oändlighet till dess att det endast finns en punkt, vilken definitionsmässigt inte har någon utsträckning alls över ytan. Proportionerna mellan kvadraterna och rektanglarna förblir oförändrade. Om man mäter ut motsvarande punkter i rektanglarna och ritar ett streck mellan punkterna så uppkommer den välkända snäckformade spiralen som kallas ”den logaritmiska spiralen”. Gyllene snittets tal (värde) har dessutom den märkliga egenskapen att vara det enda existerande tal som kan upphöjas i kvadrat endast genom att lägga till talet 1 (fi2 = fi + 1). Detta är också det enda existerande tal som om det minskas med talet 1 erhåller det talet som är dess reciproka värde (1/fi = fi – 1).

Det finns ett annat närbesläktat magiska tal som har fått sin beteckning efter den italienske matematikern Leonardo Fibonarcci (1170 – 1240). Fibonacci arbetade för att försöka finna en formel för att beskriva vissa matematiska samband i naturen. Bland annat försökte han att bestämma en matematisk formel för att ange och likaledes beräkna tillväxten av individer när kaniner fortplantar sig. Vissa givna betingelser uppsattes i hans modell. Han fann att en viss talserie mycket exakt återgav vissa redan iakttagna fasta mönster i naturen. Talserien kallas Fibonacciserien. Fibonaccitalen beskrevs i och för sig redan under 500-talet f Kr av den indiske matematikern Pingala. Den är så uppbyggd att den börjar med talen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…. Serien byggs på genom att två efterföljande tal adderas och får bilda det därefter kommande talet. Således en form av ackumulerande talserie, vilken är en beskrivning av hel del företeelser i naturen.

Om man tar en stjälk från en växt, identifierar först ett blad och sedan ett annat blad som sitter exakt över eller under det första bladet, kommer man att finna att antalet blad, tillsammans med det första bladet, alltid kommer att vara ett tal i Fibonacciserien. Man har gjort omfattande studier av antalet fröställningar i blomkorgen hos solrosor. Om man räknar samman fröställningen ett varv medsols med ett varv motsols i samma blomkorg blir antalet fröställningar alltid ett tal i Fibonaccis talserie. Dessutom är det så att antalet fröställningar alltid är två på varandra följande Fibonacci-tal. Man har i naturen funnit många spiralstrukturer, förutom i solrosor, även i snäckor och kottar. Antalet spiraler räknat motsols respektive medsols utgör i sådana strukturer två efter varandra följande Fibonacci-tal. Man har funnit så stora Fibonacci-tal som 233 i naturen.

Ju högre upp i talserien som man kommer i ju mer närmar sig relationstalet mellan de två Fibonacci-talen så mycket att det närmar sig gyllenen snittets tal. Man har ännu inte kunnat visa att vissa av naturens regelbundenheter överensstämmer med talet för det gyllene snittet. Men många tror att gyllene snittet finns i naturen, men de har inte kunnat bevisa det. Vad man däremot vetenskapligt kunnat visa är att Fibonacci-talen vid stort antal konvergerar kraftigt mot gyllene snittets tal.

Annonser

Om Arwidson

Advokat bosatt och verksam i Stockholm
Det här inlägget postades i Okategoriserade. Bokmärk permalänken.