Upptäckten av tredjegradsekvationen

Vid medeltidens slut introducerades de grekiska filosofernas arbeten åter i Europa, först genom arabernas förmedling och sedan genom direkta översättningar från grekiska. Detta ledde till att den matematiska och naturvetenskapliga debatten blev livlig och några matematiker upptäckte till sin egen förvåning att de själva kunde finna lösningar på matematiska problem som grekerna förgäves hade brottats med under långa tider. Men från att i sin privata kammares avskildhet har gjort en sådan sensationell upptäckt till att offentligen påstå att man överträffat de upphöjda grekiska auktoriteterna var vid den tiden en stor sak. Det fordrade både självövervinnelse och stort mod. Dessa pionjärer hade att övervinna ett betydande psykologiskt motstånd både hos skolade matematiker och bildade personer i allmänhet.

Exempel på detta kan man lätt finna från renässansens Italien. Vi vet att Scipio de Ferro (omkr 1465 – 1526) lyckades finna en allmän lösning till ekvationer av tredje graden, en problem som grekerna med sin geometriska bevisföring och underutvecklade algebraiska symbolsystem aldrig lyckats lösa. Men Scipio de Ferro publicerade dock aldrig sina resultat. Hans lösning återupptäcktes dock kort efteråt av Tartaglia (omkring 1499 – 1557). Namnet betyder ”stammare”. Tartaglia visade sina lösningar vid offentliga föreläsningar, men hemlighöll själva metoden att finna lösningarna. Mot heligt löfte att under inga omständigheter avslöja hemligheten lät lyckades dock kollegan Cardano (1501 – 1576) övertala honom att demonstrera metoden. Denne bröt dock löftet och publicerade kort efteråt Tartaglia upptäckt. Till Cardanos heder skall dock sägas att han för egen del inte gjorde anspråk på äran att han gjort den sensationella upptäckten,som han tillskrev Tartaglia. Inför eftervärlden är emellertid denna metoden känd som ”Cardanos lösning”. Den lösning som Tartaglia visade för Cardano kan med nutida symboler anges som (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Senare har det blivit känt att den formeln redan hade satts upp av en arabisk matematiker på 1200-talet. Numera kan kubens ekvation anges med formeln x3+nx2+px+q=0  (n,  p,  q  positiv,  negativ, eller noll),

Den kollegiala redlighet Cardano visade gentemot Tartaglia har de gestalter man möter i vetenskapens historia inte alltid uppvisat. Men den tillfredsställde inte Tartaglia anspråk på anständigt uppförande. Löftesbrottet ska ha varit upphov till en bitter fejd mellan det två matematikerna. Tack vare denna strid  har eftervärlden fått en god inblick i de psykologiska mekanismer som trädde i funktion när arvet från arvet från grekerna axlades och fördes vidare.

Cardano hade för övrigt råd att kosta på sig denna hederlighet, ty han var själv en briljant matematiker, som i sitt stora verk Ars Magna redovisar en rad upptäckter inom algebran av vilka flera går långt utöver det grekiska arvet. Cardano brukar ofta tillskrivas äran av att ha introducerat de negativa talen. Det är vidare riktigt att han i sina lösningar också inkluderade de negativa rötterna. Men han visade beträffande dem en viss tveksamhet. Han kallade nämligen de negativa lösningarna för ”fiktiva”.

Cardanos betänkligheter måste sägas ha varit klart motiverade. För om vi verkligen är beredda att ge de negativa talen samma status som de positiva har vi ett stort problem. Jämställs talet -4 med +4 måste i den matematiska konsekvensens namn också roten ur -4 vara ett lika meningsfullt begrepp som roten ur +4. Men vilket tal ger multiplicerat med sig självt talet -4? Den tidens matematiker menade att man inte kan föreställa sig något sådant tal. Därför kallade man då och alltjämt dessa tal för imaginära tal.

Problemet togs upp av en annan av den italienska renässansens matematiker, Rafael Bombelli, som i sitt arbete Algebra (1572 djärvt introducerade ett helt nytt begrepp inom talteorin: de imaginära talen. Roten ur -4 betecknade Bombelli med en symbol som i det modern matematiska symbolspråket motsvarar 2i, där bokstaven i symboliserar ”imaginära”. Denna symbol multiplicerad med sig själv ger talet -1. Bombelli insats består naturligtvis inte bara i att han introducerade denna symbol. Det väsentliga är att han med hjälp av detta nya talbegrepp lyckades lösa flera av de ekvationer som Cardano några decennier tidigare tvingats avfärda som olösbara.

Under lång tid ansågs dock imaginära tal vara omgivna med mystik. 150 år efter publiceringen av Bombellis arbete skrev matematikern och filosofen Leibniz följande: ”De imaginära talen är underbara fläktar av Guds ande, det är nästan som amfibier mellan  varat och icke-varat”.

Det var först under 1800-talet som de imaginära talens natur helt klarlades och befriades från allt övernaturligt innehåll.

Om Arwidson

Advokat bosatt och verksam i Stockholm
Det här inlägget postades i Okategoriserade. Bokmärk permalänken.